慣性moment tensorと断面2次momentとの関係

2021-04-26 19:02:45 Strength of Materials 1の第5回のレポートに書いてあった

慣性moment tensorの直交座標系$ \mathcal{S} での成分表示$ [\pmb{I}]^{\mathcal{SS}} を式変形すると、断面2次momentが現れる

$ [\pmb{I}]^\mathcal{SS}=\iiint_D\rho(x,y,z)\begin{pmatrix}y^2+z^2&xy&zx\\xy&z^2+x^2&yz\\zx&yz&x^2+y^2\end{pmatrix}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

$ \rho=\rm const.とすると

$ =\rho\iiint_D\begin{pmatrix}y^2+z^2&xy&zx\\xy&z^2+x^2&yz\\zx&yz&x^2+y^2\end{pmatrix}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

$ = \rho\begin{pmatrix}I_x&I_{xy}&I_{zx}\\I_{xy}&I_y&I_{yz}\\I_{zx}&I_{yz}&I_z\end{pmatrix}_\blacksquare

これだけだと断面2次momentの辻褄がつかない

材料力学では$ I_z=\iint_Dy^2\mathrm{d}y\mathrm{d}zを使う

……もしかして2次元か3次元かの違いか？

慣性moment tensorから密度の情報を取り除いたものと認識すればいいのかな?

どすると、断面2次momentは密度が一定の場合にしか使えない？

水理学の場合

密度が一定だとして流体を取り扱うので支障はない

材料力学の場合

どうなんだろうtakker.icon

密度が一定か、密度が一定の部材を組み合わせた部材しか取り扱わないのか？